SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 7S 



Théorème relatif à la valeur moyenne de la dérivée. 



ÉNONCÉ. 



45. L'accroissement de la fonction est égal au produit de l'accroissement de 

 la variable par la valeur moyenne de la fonction dérivée. 



DÉMONSTRATION. 



Reprenons l'équation fondamentale, 



MJ = IX [f'(x) -+- ,], 



et concevons l'intervalle àx divisé en m parties égales. A chacune des 

 subdivisions , ainsi obtenues , correspond un accroissement de la fonction, 

 et cet accroissement est déterminé par les valeurs particulières que les 

 quantités f'[x) et >, affectent à son origine. L'on a ainsi, en posant h = 



^x 

 m 





(^* ( MJ^ =h[f'{x-^ 2/») 



1z\ 



ày,„ = h \f'[.v + (m — Ijft) -,- ,,,„]. 



Or, la somme des différences ^y,, Aj/,, etc., ^y,„ est nécessairement 

 égale à la différence totale ^y. Il vient donc, en ajoutant membre à membre 

 les équations (8) , 



(9) 



^y— ,^ / /"W + r(j: + A)-l-r(a-t-a/.)-t-etc.-t-/"(x-t-(m-l)fe) i;,-H^j-Helc.-i-;{,„\ 

 l m " ' m ) ■ 



Supposons d'abord que la dérivée demeure continue dans l'intervalle 

 Aa;, et imaginons en même temps qu'on attribue à m des valeurs de plus 

 en plus grandes; chacune des quantités n,, n., etc., devenant ainsi de plus 



