7() ÉTUDE APPROFONDIE 



en plus petite, il est visible que la moyenne arithmétique 



l"(x) ■+- f'(x-\-h) H- etc. -4- /"(x-1- (»J — \)h) 

 m 



convergera vers une certaine limite déterminée. Nous désignons cette li- 

 mite sous le nom de valeur moijenne de la dérivée, et nous employons pour 

 l'exprimer la notation suivante : 



M /■'(-)• 



X 



De là résulte 



(10). . . . rw^r(^+/o-^ctc--^r(^+(»'-»/o _ ^yi^^,-;, ^ ^ 



i étant une quantité qui converge vers zéro, à mesure que m croît indé- 

 finiment. 



Eu égard à l'équation (10), l'équation (9) devient 



T,_.x-t-Ax r 



II) Ay- ix. ]y[ f{x) = ^xY 



Le premier membre de l'équation (11) est la différence de deux termes 

 qui demeurent constants, quel que soit m. Il faut donc que le second 

 membre de cette équation soit lui-même constant ou nul. Or, il ne peut 

 être constant, puisqu'il se compose de deux termes dont chacun devient 

 aussi petit qu'on veut, à mesure qu'on attribue à m des valeurs de plus 

 en plus grandes. Donc il est nul, et l'on a, par conséquent, 



(12) ly ^ ^x.^^'Xx). C.Q.F.D. 



Montrons, par un exemple, l'usage qu'on peut faire de l'équation (12). 

 Soit y = x"^' et par suite y' = (n + 1 ) .r". L'équation (12) donne 



X = a;M (Ji -+- I ) x". 



Il vient donc 



X X" 



M„ X" = . 



n H- \ 



