SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. 77 



On pourrait croire que l'équation (12) est restreinte au cas où la 

 dérivée demeure continue dans l'intervalle Az : ce serait une erreur. Poui' 

 que l'équation (12) subsiste, il faut et il suffit que la fonction soit con- 

 tinue dans l'intervalle que l'on considère. Cette extension de la démon- 

 stration que précède se fait très-simplement. L'ayant donnée ailleurs ' , 

 il nous suffit de l'indiquer ici. 



Relations générales existant entre les valeurs moyennes des dérivées successives 



d'une même fonction. 



44. Soient f(x),f'{x),f"{x), etc., une suite de termes déduits les uns 

 des autres par des dérivations successives, et tous supposés continus entre 

 les limites a: et a; -\- Aa; =^ z. 



z étant quelconque, mais constant, considérons la fonction 



(13) -.{X)^ {z - :V) r(x). 



11 est visible qu'elle a pour dérivée, 



■^' (X) = (z - X) f" {X) - f {X). 



On a donc, en vertu du théorème qui précède, 



f(z)-.{x) = (z-x)K[(z-x)f"{x]-r[x)]- 



d'où, substituant à (f{i) et à ^[x) leurs valeurs déduites de l'équation (15), 

 et réduisant, 



(1^) M;rW = /"(.r) H- m;(2-x) /■"(^). 



La formule (14), lorsqu'on y i-emplace f'{x) par le produit (i — a?)""' 

 f"{a!), donne d'abord 



+ Ul.(z-j;)[{z-xY-'f''^'{x) -{n-\)(z-sY-'r{:f)\, 

 ' Voir notre Essai sur les principes fondamentaux de l'analyse transcendante. 



