78 ETUDE APPROFONDIE 



et, après réduction, 



(15). . . M' i^-^y-' f"{^) = - [2 -■'■)'-' f "{■'■) -^^ M' {^-^)T"{^-)- 



-' n n ■« 



De là résulle, en allribuaiil à n les valeurs successives, 1, 2, 5, 

 é , etc. , n , 



ivrr (•'•■) = rw + M^i^-xirio 



M' (z-xf r (^) = ^^-^' f" w + im; ( c - .rf /-■' (-'■) . 



et par conséquent 



j M^ /'w = r (.0 + -^' /"' w + ^-^—^ r"(.o + etc. 



(16). . . '■ 



+ V--^- f" (-^i + r^i — M^ (.- - :<)" T'*' (■'■)• 



' 1. 2 ... n d.!2 ... »î » 



4 4'"*. En substituant dans l'équation 12 la valeur de la moyenne 

 M'^ 1" [x) déduite de l'équation (14), l'on trouve 



Si l'on compare celte dernière formule à l'équation iondameniale, 



ly = ix [/"(.r) + ^], 



on reconnaît que la fonction inconnue, désignée jusqu'ici par jj, se trouve 

 complètement déterminée pour tout intervalle où la dérivée f'{x) demeure 

 continue. La relation très-simple et purement algébrique 



^ = W{z~x) r(x) 



