SUR DEUX ÉQUATIOINS FONDAMENTALES. 79 



peut être considérée comme complétant d'une façon très-satisfaisante 

 l'étude analytique que nous avons faite, concernant la composition de la 

 différence ordinaire 



sy = f{.v H- SX) _ f^x). 



Théorème fondamental relatif au développement des fonctions. 



ÉNONCÉ. 



-45. La fonction quelconque y = f(x) et ses dérivées successives f [x), f"{x) etc., 

 f"{x), étant supposées continues entre les limites x et x-{- ^t = z, l'on a identi- 

 quement : 



(17). n.)^M -. ^-^rw . etc. -. ;^rw ^ Sz^„m:(-.)v-w. 



DÉMONSTRATION. 



Nous avons établi ci-dessus que l'on a, d'une part, 



ày = A.r. M^, r(.r), 



et, d'autre part, 



M:rw=rw -. -:=f rw -. etc. -^ ^J=^/-m ^ î:^„^K(--^-)" r- w. 



De là résulte, en substituant, et observant que ^x peut être remplacé 



par z — x, Ay par f[z) — f{x), 



f(z) = /■(.,) + -j± f (.,) + etc. C. Q. F. D. 



APPLICATIONS GÉNÉRALES. 



46. La formule que nous venons d'établir comprend, comme cas par- 

 ticuliers, les suites de Taylor et de Maclaurin. Comparée à ces suites, 



