80 ETUDE APPROFONDIE 



elle ollre l'avantage de les reproduire, som forme cCuleulUc , sans jamais 

 laisser rien d'indécis, ni dans l'extension qu'elles comportent, ni dans 

 l'expression du reste qui les complète. 



Pour obtenir la série de Taylor, ainsi complétée, il suffit de rempla- 

 cer z par X -{- II, ce qui donne : 



/■('■ + /') = /■(■'■)-<- J rW + :j^r'W + elc. ^-^—-fir) + ^-- Miiz-x)" /'-'(.r). 



S'il s'agissait de la série de Maclaurin, on ferait x = o, et l'on aurait 

 de même : 



/(-) = f{o) + ^ /•'(») + -î- f"[o) + etc. + f ["{0) -4- -^-]\f {z-^f r*'(x). 

 \ l.s 1.2...J1 1.2...))" 



REMARQIjES PAUTICULIÈRES. 



47. Lorsque la dérivée de l'ordre (» + 1) est constante, les dérivées 

 suivantes sont toutes nulles. On peut alors écrire le dernier terme de 

 l'équation (17), soit en lui conservant sa forme primitive 



'~'' w_(z—xYr*'{x), 



1.2... n X 



soit en lui attribuant celle qui résulte de la loi de formation des termes 

 antérieurs 



d.2 ... (n + l) 



f*'{T). 



Egalant ces deux expressions, dont la forme seule peut être diflërente, 

 observant que, par hypothèse, la dérivée f"'^'{.v) est indépendante de x, 

 et supprimant les facteurs communs, il vient 



m: (.-.)" =^- 

 ^ )i -+- 1 



Ce résultat n'est autre que celui auquel nous étions déjà parvenus di- 

 rectement n" (45). 



