SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. 81 



i8. Nous avons vu que l'équation fondamentale 



ày = {f'[x) -*- vi) M, 

 a pour expression correspondante 



^y= A^r. ^fi^), 



OU bien encore 



^y = ^x [f'{x) + JVf (^-^ITMl- 



Il est une troisième forme sous laquelle on peut la présenter. Cette 

 forme est la suivante : 



Ay = Ai I" (.V ■+■ 6ax]. 



Eu égard à cette dernière forme, on peut se proposer de déterminer 

 sinon la valeur de 9, du moins la limite vers laquelle cette valeur con- 

 verge à mesure que Ax décroît indéfiniment. Une pareille recherche est 

 sans doute plus curieuse qu'utile. Toutefois nous en dirons quelques 

 mots, ne fût-ce que pour signaler à cette occasion un exemple singulier 

 de discontinuité. 



Reprenons l'équation (17), et remplaçons, comme tout à l'heure, 

 : — a: par &.x, et f{z) — f{a;) par Aij. 11 vient ainsi, 



(18). Ay=Aif (.r) + ~ f"[x] + etc. + ^-^^ r{x) + y^^ Miiz-x)" f-^(x); 



on a, d'ailleurs, 



AJ/ = AX M" f'(x)- 



Par hypothèse , la dérivée f {x) demeure continue dans l'intervalle hx. 

 Sa valeur moyenne est donc une des valeurs qu'elle affecte dans cet in- 

 tervalle, et l'on peut écrire 



M^ f'(x) = f'{x + 6àx), 

 9 étant une fraction. De là résulte, d'abord, 



Ay = AX f'(x -t- e.àx). 

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