82 ÉTUDE APPROFONDIE 



puis développant, suivant la formule (18), la fonction f'{x-\-()^x) et 

 substituant, 



^y = ^x f'(x) -.- -p /"'(j;) -4- etc. -+- y-5— 7^,-, /'"(■'") 



On observera que l'on a ici z' = x -\- OAx. 



Imaginons maintenant que, pour une valeur particulière attribuée à la 

 variable x, les dérivées successives s'annulent toutes à la fois, à partir 

 de la seconde ou de la première, jusques et y compris la n""". 



En comparant les identités fI8) et (19), il vient alors 



(20) ««AxM^'(^'-x)" ' /•"^'f«) = M', (:;-a-)" /■'"'' (X). 



On peut d'ailleurs supposer l'intervalle Ax assez petit pour que la dé- 

 rivée ["^'{x) soit toujours croissante ou toujours décroissante dans cet 

 intervalle. Mais en ce cas, l'on a évidemment, d'une part, 



mUz-x)" f"^' [X) =r^'{x). Mi{3-x}" + ^. [/'"-^'(x +Aa;) -/■"*"' jM^Jz-x") , 



et, d'autre part, 



M'jz'-x]-' f* • {x) = f''* ■ (x)M'jz'—xy-' + ^c'.[f*' [x-t- ^x) — f^ ' {x)]Ml(z'-x)"- , 



fx et ju' étant des fractions. On peut donc écrire en premier lieu 



M' (z-x)" r^'{x) = [['"^'[x] + ê] M° [Z—Xf, 

 et en second lieu 



M>' -^)""7""^' (^) = [/-"^'W + 5'] Wjz'-x)"-', 



I et '£,' étant des quantités qui convergent vers zéro en même temps 

 que Ax. 



L'équation (20), lorsqu'on y substitue ces dernières valeurs, devient 



nnx. [f"''"(x)+^']W(z'-xf-^' = 1 /■""*" (X) -,- ?] M' (z-x)\ 



