SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 83 



D'un autre côté, l'on a , conformément au résultat établi n" 43 ou 



n° 4.7, 



M {z-xy = -, M (z'^ X)" = 



n -(- t 

 Il vient donc, enfin, 



Il -I- 1 



De là résulte, en passant à la limite, pour le cas où la dérivée /'""*'' (x) 

 n'est point nulle, 



1 



lini 9" = , 



n -♦- 1 



ou , ce qui revient au même , 



lim = \/ 



V n-4- 1 



On voit ainsi que, lorsque la dérivée du second ordre ne s'évanouit 

 pas, si petite que soit d'ailleurs la valeur qu'elle affecte, 8 a pour limite con- 

 stante la fraction |. Dès que, au contraire, cette dérivée s'annule, la limite 

 de 6 change brusquement et elle devient ^^, ^|,ou plus généralement 

 ^;r^, ? 1 étant l'ordre de la dernière des dérivées qui s'annulent succes- 

 sivement à partir de la seconde ou de la première. Ces permanences et 

 ces changements brusques des diverses limites assignées à 6, suivant le 

 nombre des dérivées successives qui s'évanouissent pour une même va- 

 leur attribuée à la variable, présentent un résultat dont la singularité 

 frappe au premier abord. Toutefois, l'on peut s'en rendre compte, en 

 observant que si la dérivée f"~^'{x), supposée variable avec x, se réduisait 

 à une constante (les quantités | et |' s' évanouissant), l'on aurait poui 

 toute l'étendue de l'intervalle Ax 



r == 



