84 ÉTUDE APPROFONDIE 



DIFFÉRENCES DES OUDKES SUPÉRIEURS ET MOYENNES MULTIPLES. 



49. Soit 



Mj = f(x -4- Ax) — f{x); 

 l'on a d'abord, en prenant la différence des deux membres, 



(21). . . Ahj^i^[f(x + e.x) — f(x)] = AxMl[f\x-i-Ax) — f'{x)] = ixMî^r{'<:). 



Si, d'ailleurs on écrit: 



(22) \y = M M^. r(^). 



on a de même 



(23) A-^y = A.r. A[]\f n^)]. 



La comparaison des équations (21) et (25) donne 



(24) A[M°r(:r)] = M^ A /■'(!), 



et de là résulte le théorème suivant : 



La différence de la valeur moyenne d'une fonction est égale à la valeur 

 moyenne de la différence de cette même fonctioti. 



L'équation (21), lorsqu'on y remplace ^f'{x) par sa valeur à,x Wxf"(x) , 

 devient 



A't/= A;r' M'M'^rW. 



et l'on en déduit, conformément à ce qui précède, 



A'^= Ax'- M' M', A /•"(*•) = A^=M',JVr M'' f"'(^)- 



X X X X X 



2 3 



Convenons de désigner par les notations M, M, etc., les moyennes multiples 

 M (M.); M [M (M)] , etc.; il est visible que nous aurons en général 



(2S) A"y = A^". M' f-{x). 



