SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. SS 



Cette relation très-simple peut s'énoncer comme il suit : 



La différence de l'ordre n d'une fonction est égale au produit de la puissance 



n de l'accroissement de la variable par la moyenne multiple M de la dérivée du 



même ordre. 



Lorsque la dérivée de l'ordre n, f"{x), est une quantité constante, l'on 



a évidemment 



M f" (:c) = M ( r M = M /" (.r) = /■" l^') = C ; 



et, par suite, 



(26) A"y = C. Ax". 



En général, ["{x) est une quantité variable. Néanmoins, il est aisé de 

 voir que l'équation (25) est réductible à la forme 



(27) A"!/ = AX" [["(x) ■+- Ç]. 



I étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Ax. 

 Veut-on déterminer directement la valeur de la quantité 



l'on a, d'abord, 



Ay = A.:[/"(^) + WjZ-^) f'i^)]- 



De la résulte, en observant, qu'eu égard à l'équivalence 



M' (z — x) f"(x) = lim — M.f'ix:) -t- àxf" [ X -^ '-] -t- etc. 



^ m L m \ m I 



-t- — f [^ + ^-f 



m \ m / J 



le facteur z — x doit être considéré comme constant, dans l'opération in- 

 diquée par le symbole h[z — x)f"{x), 



i.'-y = [A:r A /■' (x) + Wjz— .v) A f" (x)] = A.T» [f" [x] + M\ [z — x)[ /■'" (x) + M /•'" (.»•)] J. 



On trouverait de même , 



^-'y = Ax' [f"'{x) + M' (z—x) (/■■■ {x) + M\r {x) + M r (^))] . 



