86 ÉTUDE APPROFONDIE 



et généralement 



(28). ... 



( + M/"-^'w + ctc. + ]vr/""^'(^))]. 



L'équation (28), comparée à l'équation (27) donne 



ê = m;, (c- x) [Z-"-^' (.r) -4- M^ f"^' W + m; r'-*-' (^) -K etc. ^ ÎVr /■"'-' (x)]. 



On voit ainsi que tout se trouve complètement déterminé dans l'expression 

 générale qui fait dépendre la différence A"tj de la dérivée du même 

 ordre ["{x). 



Dans le cas particulier où la dérivée de l'ordre (h -\- 1)/'" ' '(x) se ré- 

 sout en une constante, l'on a. 



^ = nr^'(..)M'jz-.r)='^f'-^'(.), 



et par conséquent 





Extension générale de la formule 



ly = /'(*■) i,x. -I- f (.t) — + etc. 



50. Nous venons de montrer comment les différences des ordres supé- 

 rieurs sont liées aux moyennes multiples. Il existe également des relations 

 très-simples entre ces différences et les moyennes du premier ordre. Nous 

 en dirons quelques mots. 



Reprenons l'identité du n" 45, et écrivons-la sous la forme suivante: 



(29) . /-(.t + â;.) = f(x) + AT r (,r) + etc. h- --^-— f ' (.r) + -^- M^t-^)" /'''+' {x). 



D'après la loi de composition des différences ordinaires, il est facile d'éta- 



