SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. 89 



ol. Les formules (35), (36) et (37) prises isolément ou combinées soit 

 entre elles, soit avec la formule (28) du n" 49, permettraient d'en établir 

 un grand nombre d'autres. Nous nous bornerons à en indiquer deux. 



La formule (35) subsistant pour toute valeur de p inférieure à ?!, il est 

 visible que, dans cette hypothèse, il suffit d'attribuer successivement à p la 

 valeur o et une autre valeur quelconque, pour en déduire immédiatement, 



2 (-1)"' ^ ' \ '- (n-m ^ rW 



û-r m = n-l n(n—i) ... {n—tn-hl] -_ _x-+-(n— >nlâl 



2 (-1)". J-^J \-— -' (n-m) ^ (z-.'^r P-*" {■^■) 



1.2.../} «1=0 1.2 ... m 



La combinaison des formules (36) et (28) donne de même. 



n— 1 





= 2 (-1)- -^—-^ ^ ^ [n-m) ^{z-s)" r^' (.). 



m=:o 1.2 ... m X 



Nous ne multiplierons pas ces applications qui ne présentent aucune 

 difficulté. Celles que nous venons de faire suffisent pour mettre en évidence 

 les relations curieuses qui existent, pour les dérivées d'ordres différents, 

 entre les moyennes simples à indices variables, et, pour les dérivées du 

 même ordre entre ces mêmes moyennes et les moyennes multiples à indices 

 fixes. 



Vérification de la formule générale 



^"y = 1^1 A^ f'(x) + 1^1 Ax'f'W + etc. + 1^1 AI' /"(s) -4- etc. 



52. Terminons ce sujet par une dernière remarque. 



On sait qu'en désignant par e la limite de la série convergente, 



1 1 



1 H- 1 -t- — — ■ -f- H- etc. 



1.2 1.2.3 



l'on a, quel que soit x, 



/W = 



Tome XXIX. i'2 



(^«) /(x) = e'= 1 + .r + ^ + ^ + etc. 



