SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 91 



Cette dernière expression , lorsqu'on y fait x = o , devient, 



n" — ~ (n—lf + \ ^ ' - {n — ^f — etc. ± „. 

 11 est donc vérifié que l'on a généralement pour le coefficient du rang p 



Reprenons l'identité (39). En y remplaçant e'' par le développement 

 (38), elle devient 



û-^ûï^ '''■)- & 



^■- \ ^ ^ T-i: -*- T-^r^ +• etc. ) = Ci :r -t- j^j :r^ + Q x' + etc. 



La simple inspection de cette dernière formule montre avec évidence que, 

 pour toute valeur de p inférieure à n, l'on a nécessairement 



"1 = 0. 



n 



L'identité (59) se réduit, dès lors, à 



hû-x^.- «'«■)"= i:i - ir I ^ - rn ^' - etc., 



et elle prouve que, pour toute valeur de p non inférieure à n, et repré- 

 sentée par ?t + </, l'expression [^] = ["^'J n'est autre chose que le co- 

 efficient du terme dans lequel x entre à la puissance p — n = q dans le 

 développement 



X x' 



etc. 



1-2 1.2.3 1.2 ... (î + l) 



L'on trouve ainsi 



W='-r:'i=ï^.{T} = 



n l 7i(n — i) I i Y " n{n—i) 



I 1.2.5 1.2 \1.2/ 6 8 



ce qui complète la vérification proposée et fournit, en outre, un moyen 

 simple de calculer l'expression ["^«J , lorsque q est petit et que n est grand. 



