«.>4 ÉTIJDK APPROFONDIE 



"2" Elle permet d'opérer la séparation de ces deux parties, de mettre 

 en évidence celle qui tend à s'évanouir en même temps que Ax, de la sup- 

 primer enfin , et par cette suppression de dégager la différentielle. 



De là résulte avec une extrême simplicité le procédé généralement suivi 

 pour passer de la difTérence à la différentielle. Il consiste â développer 

 l'expression ^y=f{x-\-^x) — f(!t),h dégager le facteur A.x que le développe- 

 ment obtenu contient nécessairement, et à supprimer, dans le second fac- 

 teur, tous les termes qui s'annulent avec Ax. La suppression dont il s'agit 

 s'effectue, non pas, comme on le dit trop souvent, parce qu'avant de s'é- 

 vanouir la quantité ^ devient infiniment petite et peut, sans erreur, être né- 

 gligée par rapport à la dérivée f'{x) ; elle a lieu , parce que la propriété de 

 converger vers zéro en même temps que A.x, caractérise, d'une manière 

 complète et exclusive, l'ensemble des termes qu'il faut soustraire du fac- 

 teur [f'{^)-{-r,] pour changer l'expression de la différence en celle de la 

 différentielle. Dès qu'on a reconnu les termes à supprimer, et qu'on les a 

 fait disparaître, il n'y a plus à se préoccuper du moyen dont on s'est servi 

 pour les distinguer de ceux qu'il fallait conserver; l'on a ri(joureusemenl 



dy = f [x) m; 



et bien loin qu'elle doive être restreinte à une suite de valeurs prétendues 

 infiniment petites , cette équation s'étend, au contraire, à toutes les valeurs 

 finies de l'accroissement Aar. 



54. La différentielle étant définie, comme on vient de le faire, on voit 

 qu'elle est une partie de la différence ordinaire, mais on n'aperçoit point 

 encore ce qu'elle est par elle-même , ni ce qu'elle exprime par rapport à 

 la fonction dont elle dérive. La définition est algébrique ; elle satisfait 

 l'esprit et le repose. Elle offre ainsi des avantages précieux; néanmoins 

 tant qu'elle est réduite à la simple ti-aduction d'un fait qu'elle n'explique 

 point et dont le sens échappe , elle se trouve frappée d'une sorte de stéri- 

 lité relative, et bien qu'elle suffise pour fonder, sur une base rationnelle, 

 la méthode des limites, elle n'y diminue pas sensiblement la difficulté des 

 applications. Veut-on suppléer à cette impuissance qui résulte uniquement 

 d'un défaut d'appropriation? Veut-on réunir aux avantages signalés ci- 



