SUR DEUX EQUATIONS FONDAMEINTALES. !>5 



dessus, l'avantage important de ces déductions si faciles qui font prévaloir 

 la méthode infinitésimale? Le moyen est extrêmement simple; il se réduit 

 à donner à la définition de la différentielle toute l'extension qu'elle com- 

 porte, ou, ce qui revient au même, à saisir, dans l'équation différentielle 

 sa véritable signification. Bornons-nous, sur ce point capital, à rappeler 

 en quelques lignes les principes que nous avons établis précédemment. 

 Étant donné une fonction quelconque, supposée continue et non li- 

 néaire, y=f(x), il existe entre les accroissements simultanés Ay,Ax, un lien 

 de dépendance mutuelle et réciproque. Ce lien s'étend jusqu'à l'origine 

 des accroissements, et il régit leur génération de manière qu'elle com- 

 mence toujours suivant une certaine raison de proportionnalité. Cette 

 raison de proportionnalité change incessamment, et a pour expression 

 générale la valeur correspondante de la dérivée f'(x). De là vient que le rap- 

 port ^ a une limite vers laquelle il converge à mesure que Ax décroît 

 indéfiniment. De là vient aussi que, tout en convergeant vers cette limite, 

 exprimée par /"'(x), le rapport — demeure constamment variable et ne 

 peut s'arrêter à aucune valeur dans laquelle il persiste. Imaginer que cette 

 dernière condition cessât d'avoir lieu pour des valeurs de Ax prétendues 

 infiniment petites, ce serait admettre en même temps que la raison de 

 proportionnalité exprimée par f'(x) demeure constamment la même dans 

 toute l'étendue d'un certain intervalle. Une pareille hypothèse est évi- 

 demment absurde et contradictoire, lorsqu'il s'agit de l'accroissement 

 effectif Aj/. Toutefois elle peut être faite et rester de tout point légitime, 

 pourvu que l'on considère à part l'accroissement particulier qui y cor- 

 respond. C'est cet accroissement particulier , essentiellement distinct de 

 la différence ordinaire, avec laquelle il ne peut jamais se confondre, qui 

 constitue la différentielle proprement dite, et tel est le sens de l'équation 

 fondamentale 



dy = /" {x) M. 



Dans cette équation la raison de proportionnalité exprimée par f'{x) est 

 supposée comtttnle pour toute l'étendue de l'intervalle quelconque Ax. Eu 

 égard à celte hypothèse, la différentielle dy n'est plus qu'une différence ordi- 



