SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 97 



Cela posé imaginons que l'équation 



y = f{x), 



représente une courbe plane rapportée à des axes quelconques. Si nous 

 prenons l'équation différentielle 



(3) dy = f (x) àx, 



nous devons y considérer la dérivée f'{x) comme une constante déterminée par 

 la valeur particulière affectée par x à l'origine de l'intervalle Ax. Dans cette 

 liypotlièse, dy n'est plus qu'une différence ordinaire : c'est donc une droite 

 qui se trouve représentée par l'équation (3), et l'inclinaison de cette droite 

 par rapport aux axes est fixée par la valeur particulière de la dérivée 

 f'{x). Or, dans la génération de la droite, le déplacement du point gé- 

 nérateur s'effectue toujours suivant une seule et même direction. Voilà 

 donc une condition permanente et invariable exprimée par l'équation diffé- 

 rentielle, et complètement déterminée par la valeur particulière que la 

 variable x affecte à l'origine des accroissements. On peut et l'on doit en 

 conclure que cette même condition, ainsi particularisée, subsiste transitoi- 

 rement à l'origine de l'accroissement effectif Ai/. De là résultent, comme 

 conséquences immédiates et rigoureuses , les deux énoncés suivants : 



1° Dans la génération d'une courbe quelconque y = f (x), c'est toujours suivant 

 une certaine direction, déterminée pour chaque position et incessamment variable 

 d'une position à l'autre, que s'effectue le déplacement du point générateur. 



2" La droite qui fixe celle direction et que l'on nomme tangente , a pour équa- 

 tion aux différences ordinaires l'équation différentielle 



dy = /' (^) ^^■ 



On voit ainsi qu'en chaque point d'une courbe, il est une direction pre- 

 mière suivant laquelle la continuité s'établit. La tangente ne fait que mani- 

 fester cette direction en la rendant sensible. Sur la courbe , la direction change 

 incessamment, et nul espace n'est franchi, sans qu'elle se soit modifiée. 

 Le contraire a lieu pour la tangente où la direction persiste dans la déter- 

 mination que la courbe affecte transitoirement au point que l'on considère. 

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