98 ETUDE APPROFONDIE 



Dans la méthode des limites, comme dans celle des fonctions déri- 

 vées, la définition de la tangente est exacte, mais imparfaite et insuffisante. 

 Elle n'apprend rien sur ce qu'il importe le plus de connaître, le lien 

 intime existant entre la tangente et la courbe. Dans la méthode infinitési- 

 male ce lien est nettement accusé , mais avec une exagération absurde et 

 dangereuse. On ne s'y contente pas d'attribuer à la direction tangentielle 

 la détermination essentiellement transitoire qu'elle affecte en chaque point : 

 on admet, contre toute logique, que cette détermination demeure persis- 

 tante, pour une certaine étendue, et l'on s'imagine corriger une aussi grave 

 erreur, en affirmant de l'étendue dont il s'agit qu'elle est infiniment petite, 

 c'est-à-dire que, sans être nulle, elle s'évanouit néanmoins devant toute 

 longueur finie. Dans cette méthode, où l'on ne craint pas d'accumuler 

 les absurdités et les contradictions , la circonférence de cercle est consi- 

 dérée comme s'identifiant avec un polygone rectiligne où se succèdent une 

 infinité d'angles et de côtés. Cependant elle ne cesse pas d'avoir tous ses 

 points équidistants d'un point intérieur, ni par conséquent d'être la ligne 

 engendrée par l'extrémité du rayon tournant autour du centre. Où sont les 

 côtés de ce polygone? Où sont les sommets de ses angles? Comment le 

 rayon tournant autour du centre peut-il engendrer une succession diseon- 

 tinue d'éléments rectilignes? Comment est-il possible qu'un mode de géné- 

 ration essentiellement uniforme, toujours et partout identique à lui-même, 

 produise tantôt une suite continue de points n'admettant tous qu'une seule et 

 même tangente, tantôt des points isolés auxquels deux tangentes correspon- 

 dent? On ne saurait ni le voir, ni le comprendre. Ce que l'on ne voit pas 

 est donné comme échappant à la grossièreté de nos sens , qui ne nous per- 

 mettent pas de pénétrer dans la région des infiniment petits : ce que l'on 

 ne comprend pas est tout simplement affirmé; c'est un mystère qu'il n'est 

 pas besoin d'éclaircir; c'est une révélation qu'il faut admettre et respecter. 



Laissant de côté l'absurde conception du cercle polygone, je dois néan- 

 moins insister sur la définition de la tangente. J'ai pu me convaincre que 

 l'usage de la méthode infinitésimale , alors même qu'on sait en éviter les 

 abus, suffit pour obscurcir la notion de continuité et la rendre en quelque 

 sorte inintelligible. De là vient sans doute que j'ai rencontré, chez des 



