SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 99 



géomètres, partisans modérés des infiniment petits, une difficulté pres- 

 que insurmontable à concevoir nettement que, dans le mouvement d'un 

 point qui décrit une courbe, il y a à chaque instant direction déterminée, 

 cette direction n'étant jamais persistante et produisant la courbure par 

 les modifications continues qu'elle subit incessamment. Toutefois il est 

 plusieurs moyens de démonstration qui m'ont souvent réussi comme élu- 

 cidation du sens exprimé par l'équation différentielle. Je vais essayer d'en 

 reproduire ici quelques-uns. Directs ou indirects, ils tendent également 

 au but proposé ; s'ils l'atteignent, le lecteur n'hésitera pas sans doute à les 

 admettre. 



S6. Imaginons qu'un point tn se meuve en se dirigeant toujours vers un 

 autre point n. Quelles que soient les deux positions affectées simultané- 

 ment par ces points, elles déterminent une droite qui peut, suivant les 

 cas, être fixe ou mobile et que nous désignerons par ses extrémités m, n. 

 Supposons, d'abord, que le point directeur soit arrêté dans la position 

 qu'il occupe à un instant quelconque. Il est visible, qu'à partir de ce 

 même instant, le point m décrit une portion de la droite mn devenue fixe. 

 Supposons, ensuite, que le point m entre en mouvement et se déplace sui- 

 vant une ligne quelconque, toujours autre que la droite mn. A partir de 

 l'instant précis où ce mouvement commence, la ligne décrite par le point 

 tn ne peut plus être droite sur aucune étendue. Elle est donc courbe. Toute- 

 fois rien n'est changé pour le point m dans la direction qu'il affecte à 

 l'origine de l'arc curviligne; il arrive seulement, qu'au lieu d'être persis- 

 tante, comme dans le premier cas, cette direction n'est plus que transitoire. 

 Il en est de même pour toute autre direction suivie par le point m dans 

 le parcours de la courbe. Veut-on rendre sensible l'une quelconque de 

 ces directions? Il suffit d'arrêter le point n dans la position correspon- 

 dante, où il est parvenu. De transitoire qu'elle était, la direction dont il 

 s'agit devient alors permanente, et l'on voit clairement que, ne cessant 

 jamais de coïncider avec celle de la droite mn, pour toute l'étendue de 

 l'arc curviligne, elle est, comme celle-ci, déterminée pour chaque point 

 de cet arc , et constamment variable d'un point à un autre. 



L'exemple que je viens de développer me paraît à lui seul assez dé- 



