SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. m 



si d'ailleurs on désigne par As la longueur de l'arc qui répond à l'inter- 

 valle ^x, l'on a pour l'accroissement différentiel ds mesuré sur la tangente 



ds = Ax V 1 -t-f'ixY. 

 Il vient donc en substituant 



au = ; ds. 



L'équation différentielle que nous venons d'écrire s'applique à la géné- 

 ration simultanée des accroissements angulaires et arcuels. Elle déter- 

 mine : 



1° Le rapport suivant lequel commence cette génération; 



2° La ligne qui se substitue à la courbe donnée, lorsqu'on suppose 

 que ce rapport persiste dans la détermination transitoire qu'il affecte à 

 l'origine des accroissements. 



Considérant cette ligne, et substituant les différences aux différentielles, 

 il vient 



^a f" (x) 



En ce cas , deux arcs quelconques , égaux en longueur , sont toujours 

 superposables. La courbure est donc uniforme, et la ligne engendrée une 

 circonférence de cercle ayant pour rayon 



Le cercle, ainsi déterminé, a en tous ses points même courbure que la 

 courbe donnée au point que l'on considère. On le nomme cercle oscutateur, 

 et son rayon rayon de courbure. En général la courbure varie d'un point à 

 un autre. Dans tous les cas elle est mesurée par le rapport j et le change- 

 ment de direction pris à son origine, commence sur la courbe de la même 

 manière qu'il s'effectue constamment sur toute l'étendue du cercle oscu- 

 lateur. 



