102 ETUDE APPROFONDIE 



Conditions intimes du mouvement d'tm point matériel rendues sensibles 

 et démontrées directement par la différentiation. 



58. Un point matériel se meut dans l'espace. Une relation existe entre 

 le temps t et le chemin parcouru e. On suppose cette relation connue et 

 oxprimée par l'équation 



e = f(t). 



De là résulte immédiatement 



de = /■'(() M, 



c'est-à-dire l'équation d'un mouvement uniforme où la vitesse se conserve 

 sans altération, et demeure constamment exprimée par la valeur particu- 

 lière que la dérivée f'{t) affecte à l'origine des accroissements Ae, ùd. Con- 

 cluons, en vertu du théorème rappelé ci-dessus n» 55, que, si l'on 

 désigne en général par v la vitesse acquise après le temps t dans le mou- 

 vement auquel s'applique l'équation 



l'on a, en général, 



V =f'(t). 



Différentiant cette dernière équation, il vient 



dv = /■"(«)■ '^ï. 



c'est-à-dire l'équation d'un mouvement uniformément varié, où l'action 

 motrice demeure toujours la même et a pour expression constante, rap- 

 portée à l'unité de masse, la valeur que la dérivée f"{i) affecte à l'origine 

 des accroissements \v , M. 



Concluons comme tout à l'heure que , dans le mouvement dont il s'agit 

 en réalité, si l'on désigne par F, pour l'unité de masse, la valeur que 

 l'action motrice affecte à l'instant t, l'on a généralement 



F = f"{t). 



59. Les applications qui précèdent montrent suffisamment le rôle assigné 

 à la différentiation, lorsqu'il s'agit de pénétrer au fond des choses et d'en 



