i08 ÉTUDE APPROFONDIE 



Considérer les différentielles dx, dy, dz.di, c'est à partir du point [x, 

 y, 2), substituer à la courbe sa tangente en ce point. C'est par rapport à 

 cette tangente, exprimer par ces différentielles, les différences ordinaires 

 correspondantes. Il suit de là que, si l'on désigne par a, S, ■/, les angles 

 que la tangente, dont il s'agit, fait respectivement avec les axes coor- 

 donnés des X, des y et des s, l'on a directement et sans aucun inter- 

 médiaire 



rfu = V'dx' -\- dy" -+- dz^ 



dx 

 COS a = -— • 

 da 



dy 

 cos f = — ■ 



oa 



dz 

 cosr = — • 



De là résulte encore 



da = dz V \ +f{zf + r(z)'; 



puis prenant z pour variable indépendante , 



.. = .2 ]\I"^"^'Vl+(r(^r-t-(F'r)'. 



Soient maintenant t, u, v, les coordonnées d'un point quelconque pris 

 dans le plan mené par le point [x, y, z), normalement à la courbe. Si 

 l'on considère ce point comme le centre d'un cercle touchant la courbe 

 au point [x, y, r), et qu'on désigne par R le rayon de ce cercle, on a 



d'abord 



(t — xf + (u—yf -H (i — -)' = R'; 



puis différentiant par rapport aux variables y, x, z considérées comme 

 appartenant au cercle dont il s'agit : 



(/ — x) dx ■+■ (11 — y) dy ■+- {v — z) d: = 0. 



Cette relation subsiste évidemment pour un point quelconque du plan 

 normal. Elle est donc l'équation de ce plan. D'un autre côté, le cercle a 

 même tangente que la courbe au point considéré {x, y, z). On peut donc, 



