SUR DEUX ÉQUATIOPiS FONDAMENTALES. 109 



comme tout à l'heure, remplacer par f'(z) et F' (2) les rapports ~ , et 



du 



^, et, par conséquent, écrire l'équation du plan normal sous la forme 



suivante , 



(t — x)r(z) + {u~y) F'(z) -4- v — z = 0. 



63. Soit une surface 



u = F(x,y,z) = 0. 



et sur cette surface un point quelconque {x„ ij„, z„). Il est un lieu géomé- 

 trique déterminé par l'ensemble inflni des directions suivant lesquelles 

 la continuité s'établit sur la surface à partir de ce point. Quel que soit ce 

 lieu, il reste le même lorsque, supposant permanentes les raisons de pro- 

 portionnalité suivant lesquelles commence pour une section quelconque 

 la génération simultanée des accroissements Aa;, ^y , A2, on substitue à la 

 surface donnée celle qui a pour équation 



du„ du„ du„ 



dx H dy -t dz = 0, 



'^^o -ij/o ^Z^ 



c'est-à-dire , 



« "i/o l^^o 



Or, cette équation appartient à un plan. Elle exprime donc le lieu géo- 

 métrique lui-même. On le nomme plan tangent. 



Considérons tant de courbes qu'on voudra tracées sur la surface et 

 passant par le point de contact du plan tangent. A partir de ce point la 

 continuité s'établit, pour chaque courbe, suivant la direction fournie par 

 la tangente. Lieu géométrique de ces directions, le plan tangent contient 

 toutes les tangentes. 



64. Lorsque deux courbes ont en un point commun {x, ij,z) même 

 tangente, les quantités dx, dtj, dz sont identiques de part et d'autre, et il 

 en est de même de l'accroissement différentiel 



d'^ = y dx^ ■+■ dy^ ■+■ dz^. 



Suppose-t-on, en outre, qu'en ce point, les deux courbes aient même 

 courbure? il en résulte que les différentielles secondes dH, d^y, dh s'iden- 



