HO ÉTUDE APPROFONDIE 



tifieiil de part et d'autre, comme celles du premier ordre et réciproque- 

 ment. Soient, en effet, «, ë, y les angles que la tangente commune aux deux 

 courbes fait avec les axes des x, des y et des z; l'on a généralement 



(py de d'à 



— - = — Sin f — -t- COS f — 

 da aa aa 



Or, on sait que pour une direction tangentielle déterminée par les 

 angles «, 6, y, la courbure dépend exclusivement des raisons de pro- 

 portionnalité suivant lesquelles commence la génération simultanée des 

 accroissements (Aa, Aa), (A/S, Au), (Ay, A<j). On sait de plus que ces raisons 

 ont pour valeurs respectives les quotients ~, ^, —■ Les équations qui 

 précèdent montrent donc, avec évidence, que là où deux courbes ont 

 même tangente, l'égalité de courbure implique l'identité des différen- 

 tielles d^x, (fiy, d\ et réciproquement i. 



La déduction que nous venons d'établir est susceptible d'applications 

 nombreuses. Elle offre, dans toutes, et au plus haut degré, l'avantage 

 important d'une grande simplicité, jointe à une entière rigueur; donnons- 

 en un exemple. 



' Pour le voir, il suffît d'observer que l'on a en général 



dad'a = dxd-x -*- dyd'y -+■ dzd'z . 

 ce qui permet d'éliminer dV sans introduire aucune variable nouvelle. 



