SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 111 



Courbure des surfaces 



65. Soit une surface 



2 = F(a;, y). 



Pour abréger , nous représenterons par p et 7 les dérivées partielles du 

 premier ordre F'^{ie, y), F'y{x, y), et par r, s, l, les dérivées partielles 

 du second ordre F'^ {x, ij), Fl,y{a;, y), F'y(x, y). 



Soit un point quelconque pris sur la surface. En ce point, où nous 

 supposons l'origine des coordonnées transportée, le plan tangent a pour 

 équation 



(1) dz — pdx — qdy = o; 



on a, d'ailleurs, pour équation différentielle du second ordre, 



(2) d^z — pd^x — qd'y = rd^x -+- isdxdy -+- tdy^. 



Considérons le cercle osculateur à une section plane faite sur la surface, 

 pour le point dont il s'agit, et quel que soit ce cercle, concevons-le tracé 

 sur la sphère. 



(3) {x-ar + {y-bf + (z-cr = p'; 



par hypothèse, la sphère passe par l'origine, et l'on peut l'assujettir à 

 toucher en ce point la surface donnée. On a donc, d'abord, 



a? + b' + €' = p'; 



puis, différentiant l'équation (3) 

 (4) {x — a)dx -i- {y — b)dy ■^- {z — c) dz = o, 



et posant as = o, y = 0, z = o, 



adx ■+■ bdy ■+• cdz = o. 



De là résulte, eu égard à l'identité du plan représenté par cette équation, 

 et du plan langent fourni par l'équation (1) 



a _ b _ 



c ^' c '' 



