m ETUDE APPROFONDIE 



il vient donc, en substiluant dans l'expression de p, 



f -r^ c V'\ -\- J)' -i- q^. 



Veut-on maintenant que pour deux sections quelconques faites par un 

 même plan, l'une sur la surface donnée, l'autre sur la sphère, le point 

 de contact devienne un point d'osculation? 11 faut exprimer que, pour 

 chacune de ces deux sections, la courbure, en ce point, est la même de 

 part et d'autre. 



Différentions, en conséquence, l'équation (4) et posons x = o tj = o, 

 2 = 0, dans le résultat de la difîérentiation. Il vient ainsi 



ad^x ■+■ bd'y ■+■ cd'z ^ dx^ -t- dy' -4- rfz' = da'; 



OU remplaçant a et 6 par leurs valeurs 



rfa' 



(5) d'z — pd^x — qd^y = — ; 



c 



observons que, si le plan sécant est déterminé, les quantités dx, dij, dz le 

 sont également. Donc , aussi , pour faire coïncider les équations de cour- 

 bure (2) et (5), il suffit d'écrire 



dn^ 



(6) — == rdx' -t- Isdxdy -v- tdy' . 



c 



et l'on en déduit immédiatement 



(7) 



rdx^ -t- 'isdxdy -+- tdy^ 



Cela posé, s'il s'agit d'une section normale, la section qui lui correspond 

 dans la sphère est un grand cercle , et elle a pour rayon de courbure le 

 rayon p de la sphère. S'agit-il au contraire d'une section oblique, la sec- 

 tion correspondante est un petit cercle. Néanmoins la sphère, sur laquelle 

 ce cercle est tracé, ne change pas, si les quantités dx, dij , dz, restent les 

 mêmes, c'est-à-dire si la section oblique a même tangente que la section 

 normale. Or , en ce cas , désignant par c l'angle des deux sections et par 

 R le rayon du petit cercle, on a évidemment, 



(8) R = f cos f. 



