114 ÉTUDE APPROFOiNDIE 



effecluées successivement, et l'on a, pour la différentielle de l'ordre >i, 



'i"y = /'"(•'^) ^^"< 



Les notions qui précèdent peuvent suffire, en ce qui concerne la défini- 

 tion des différentielles des ordres supérieurs. Cependant, elles ne donnent 

 point une idée précise de ce que sont ces différentielles par rapport aux 

 différences du même ordre qui leur correspondent, et, ne fût-ce que par 

 ce motif, il ne saurait être sans utilité d'établir, pour une différentielle 

 d'un ordre quelconque, l'interprétation directe dont elle est immédiate- 

 ment susceptible. 



Nous avons établi n° 19 que lorsque la dérivée de l'ordre «, f"{x) se 

 résout en une constante, l'on a 



^'1.1 = f" {■>'■) ^■'■% 

 et, généralement, dans le cas contraire, 



yy = y.i" [/■"(■'■) ^- v], 



i étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Aa;. 



De là résultent, comme conséquences faciles à démontrer, sinon tout 

 à fait évidentes, les énoncés suivants : 



1° C'est suivant une raison déterminée , et exprimée , pour diaqtie origine, pur la 

 valeur correspondante de la dérivée f" [x] , que commence la rjénéralion simultanée 

 des grandeurs A"?/, Aj;" ; 



2° Dans le cas des fondions algébriques rationnelles et entières de l'ordre n, celte 

 raison est constante : elle est nulle pour les mêmes fonctions d'un ordre inférieur. 

 Sauf ces exceptions, elle est toujours variable avec x dans Cintervatle Aie. 



Cela posé, considérons une fonction quelconque autre que celles qui 

 rentrent dans les exceptions précitées; si l'on suppose pour cette fonction 

 que la dérivée de l'ordre n conserve dans toute l'étendue de l'intervalle Ar 

 la valeur particulière qu'elle y affecte à l'origine, la différence de l'ordre n 

 correspondante à cette hypothèse est généralement autre que la différence effec- 

 tive A"i/. Pour l'en distinguer, on lui donne le nom àe différentielle , et l'on 



