SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES. IITJ 



substitue à la caractéristique A la caractéristique d. L'on a ainsi et simulta- 

 nément 



A".v = ^:'" [ri''-) -^ 4] - -i-'" Mr\h- 



X 



(l'y = jsa,-". /■" (x). 



On voit, par ces détails très-simples, que la définition, donnée d'abord 

 pour la différentielle du premier ordre, s'étend d'elle-même aux différen- 

 tielles des ordres supérieurs, la différentielle de l'ordre n n'étant, en géné- 

 ral, qu'une différence ordinaire du même ordre prise dans une liypolltêse pai- 

 ticulière. Quant à cette hypothèse , voici en quoi elle consiste : 



On sait que la raison de proportionnalité, suivant laquelle commence la 

 génération simultanée des grandeurs A"y, Ax" varie incessamment dans l'in- 

 tervalle Ace. Cela posé, au lieu de considérer ce qui a lieu effectivement, c'esl- 

 à-dire la génération complexe qui correspond à la succession non inter- 

 rompue des valeurs toujours changeantes et toujours transitoires de la raison 

 dont il s'agit, on suppose que cette même raison, devenue permanente , per- 

 siste dans la valeur particulière qu'elle affecte à l'origine des accroisse- 

 ments. A cette liypotlièse répond une différence ordinaire de l'ordre n exprimée 

 par le produit f"{x) Ax" et constituant, par rapport à la fonction donnée, 

 la différentielle du même ordre d"y. A ce point de vue la différentielle n'est 

 qu'une différence ordinaire. Toutefois elle ne doit pas être confondue avec 

 la différence effective A"j/. De là le changement de caractéristique. Il accuse 

 à la fois la distinction qui doit être maintenue entre les grandeurs A"y et d"y 

 et le lien de dépendance qui les détermine l'une par l'autre, et réciproque- 

 ment. 



D'api-ès ce qui précède, il est visible que les formules générales (18) et 

 (57) des numéros (48) et (50) peuvent s'écrire très-simplement à l'aide des 

 différentielles des ordres supérieurs. Suppose-t-on , par exemple , que la 

 fonction donnée soit développable en série convergente d'après la formule 

 de Tavlor ? L'on a dans ce cas 



, iT-y d'y (I"y 



(1) . . . . dy = (/y -t- -4 + —^ + etc. ^ 



1.2 1.2.3 1.2.. .n 



