26 ÎNOUVELLE MÉTHODE D'APPLICATION 



§ IV. 

 Différentes représentations des surfaces 7'églées du second degré. 



62. — Deux syslômes de polaires pi, p'i', dont les transversales sont 

 reliées par un système de parallèles ayant une direction autre que celle 

 de la ligne des pôles, représentent respectivement les projections horizon- 

 tales et verticales de génératrices rectilignes d'un hyperboloïde à une 

 nappe , si l'on prend pour ligne de terre une perpendiculaire à la direc- 

 tion des parallèles. Cet hyperboloïde a pour directrices : 1" la verticale (/)); 

 2° la perpendiculaire (//) au plan vertical; 5" la droite de l'espace (t, l'). 



Les deux polaires respectivement parallèles aux deux transversales sont 

 deux polaires correspondantes ; car ces deux polaires sont les projections 

 horizontale et verticale de la génératrice parallèle à la directrice [t, i'). 



Projetons, par des perpendiculaires à la ligne de terre, le pôle de 

 chaque système sur la transversale de l'autre système ; désignons par n' 

 [fig. 25) la projection du pôle p sur la transversale (' et par t: la pro- 

 jection du pôle p' sur la transversale t. Il est facile de voir que la ver- 

 ticale (tt) et la perpendiculaire (t:') au plan vertical sont deux généra- 

 trices de l'hyperboloïde. Ces deux génératrices , que nous nommerons 

 génératrices principales, étant prises pour deux directrices dans le second 

 mode de génération, il en résulte que les deux projections d'une généra- 

 trice quelconque de ce second mode doivent passer respectivement par jr 

 et -'. Donc, si Ji, n' sont les deux projections d'un point de l'hyperbo- 

 loïde, la droite de l'espace (p«, ;)'»') sera une génératrice d'un mode, et 

 la droite de l'espace (tth , tt'k') sera une génératrice de l'autre mode de gé- 

 nération de l'hyperboloïde. 



Il est donc bien facile de construire soit les deux traces, soit la trace 

 principale d'un plan tangent mené à l'hyperboloïde par un point donné 

 sur sa surface, puisque l'on peut construire immédiatement les projec- 

 tions des deux génératrices de mode diflerent qui passent par ce point '. 



' Comme nous supposons connue l.i double géncralion de l'hyperboloïde à une nappe, nous 

 devons prévenir ici que nous en avons donné ailleurs une démonstration nouvelle, au moyen des 



