DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 31 



une ligne droite et donner ainsi une démonstration nouvelle de la double 

 génération du paraboloïde hyperbolique. En effet, {a, a'), {b,b'), (c,c'), etc., 

 étant les points de rencontre des droites du plan M avec un plan per- 

 pendiculaire à la ligne de terre, on a, ces points étant situés sur une même 

 droite, la proportion : 



ab : a'b' = bc : b'c' = cd : c'd' = etc (a) 



et pour que les points d'intersection («,«'), (/3, /3'), (y, /), [â, 3'), etc., des 

 génératrices du paraboloïde avec un plan quelconque perpendiculaire à 

 la ligne de terre soient sur une ligne droite, il faudrait également dé- 

 montrer l'égalité des rapports : 



aB : cf'H' = /3r : ^V = r^ ■ r'^' = etc (6) , 



Or, une épure fera voir que les antécédents et les conséquents des rap- 

 ports (6) sont respectivement en proportion avec les antécédents et les con- 

 séquents de (a). Donc, les rapports [b) sont égaux, ce qu'il s'agissait de 

 prouver. 



72. — Deux systèmes de polaires p, p' qui se coupent sur une coni- 

 que c passant par les pôles, représentent respectivement les projections 

 horizontales et verticales de génératrices rectilignes d'un hyperboloïde à 

 une nappe, si l'on prend pour ligne de terre une droite non perpendiculaire 

 à la ligne des pôles. Les trois directrices de cet hyperboloïde sont : 1° la 

 perpendiculaire (p) au plan horizontal; 2° la perpendiculaire (p') au plan 

 vertical; 5° la conique de l'espace (c, c) située dans le plan bissecteur iJ. 

 On remarquera, dans le cas actuel, qu'à chaque polaire du premier système 

 ne correspond qu'une seule polaire dans le second système. 



Démonstration. — Démontrons d'abord la propriété pour le cas où la 

 courbe c est une circonférence de cercle. Projetons les deux pôles p, p' 

 {fig. 2) sur la circonférence, par des perpendiculaires à la ligne de terre 

 LT; et représentons par tt' la projection du pôle p, et par tt la projection 

 du pôle p'. Considérons maintenant la surface réglée qui a pour direc- 



