DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 37 



SECONDE SECTION. 



DÉFINITIONS DE LIEUX GÉOMÉTRIQUES DU PREMIER DEGRÉ , DÉDUITES DU PLAN ET DES 

 SURFACES GAUCHES DU SECOND DEGRÉ. 



Propriétés des transversales de deux systèmes de polaires ou de deux systèmes de 

 parallèles qui se coupent sur une droite. 



Parmi les théorèmes que nous démontrons concernant le point et la 

 droite, les uns se déduisent du plan, les autres des surfaces gauches du 

 second degré. Nous donnerons séparément les uns et les autres. 



82. — Théorème. — Deux systèmes de parallèles qui se rencontrent sur une 

 droite , étant coupés respectivement par deux transversales quelconques partant (Cun 

 point de cette droite, les droites qui relient les deux transversales forment toujours 

 un système de parallèles. (Fi g. 5.) 



Démonstration. — Soient D la droite sur laquelle se coupent les deux 

 systèmes de parallèles et t, t' les deux transversales partant d'un point m 

 de la droite D; ces deux systèmes de parallèles représentent, pour une 

 ligne de terre quelconque, un plan passant par la droite de l'espace (D, D) 

 située dans le plan bissecteur B (59). Or, en prenant la ligne de terre 

 perpendiculaire à une droite quelconque aa' qui relie deux points corres- 

 pondants des deux transversales t, t', le point de l'espace (a, a') appar- 

 tiendra à ce plan, ainsi que la droite {t, t'), car cette dernière passe par 

 le point [a, a') et elle rencontre la droite {D, D) au point (m, m). Mainte- 

 nant il est facile de voir que [b, b'), {c,c'), etc., sont autant de points de ce 

 plan, comme étant chacun l'intersection de deux droites de ce plan; donc 

 les droites qui relient les projections b et b', c et c', etc. , sont perpendicu- 

 laires à la ligne de terre, c'est-à-dire parallèles à la droite aa'. Donc, etc. 



83. — Théorème. — Deux systèmes de polaires qui se rencontrent sur une 

 droite étant coupés respectivement par deux transversales partant d'im même point 

 de cette droite et respectivement parallèles à deux polaires correspondantes quel- 



