DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 45 



pôles sont distribués d'une manière quelconque, étant donnés, si chaque système , 

 depuis le premier jusqu'au dernier, coupe celui qui le suit immédiatement sur une 

 droite, et que toutes ces droites concourent en un même point, alors le système des 

 droites qui relient deux droites quelconques des précédentes, forme un système de 

 polaires. 



Démonstration. — Soient pi, p.-^, p,, p^, etc., les pôles des systèmes de 

 polaires. D'après l'énoncé, le système p, coupe ou rencontre le système 

 p^ sur une droite que nous représenterons par f, ; le système p, coupe le 

 système p^ sur une droite «^ ; le système p, coupe le système p^ sur une 

 droite t^, et ainsi de suite. 



D'après l'énoncé, toutes les droites f,, t.,, t., t^, etc., que nous nomme- 

 rons indifféremment droites ou transversales, passent par un même point 

 que nous désignerons par m. En remarquant que chacun de ces systèmes 

 se trouve coupé par deux droites ou transversales, à l'exception du premier 

 et du dernier système, qui ne sont coupés chacun que par une seule 

 transversale, nous pouvons écrire ces divers systèmes comme il suit, en 

 mettant en évidence les transversales de chacun : 



Pi h, Pi h h. Pzkh, Pikti, etc. 



Dans cette notation la lettre commune à deux systèmes signifie la droite 

 sur laquelle se coupent ces systèmes. Cela posé, prouvons, par exemple, 

 que les droites qui relient la transversale t^ à chacune des autres trans- 

 versales , forment autant de systèmes de polaires : 



En comparant les deux systèmes p^ t, t^, p. t^ t^, on voit, d'après la 

 notation, qu'ils se rencontrent sur la droite te,, et qu'ils sont coupés res- 

 pectivement par les deux transversales fi, fj partant du point m de la droite 

 t^. Donc, d'après (85), les droites qui relient t^ et i- forment un nouveau 

 système de polaires tt, que nous représenterons, d'après la notation con- 

 venue, par 7: t^ t^. En comparant ce nouveau système n t^ t^ au système 

 Ih h hi on voit qu'ils se rencontrent sur la droite t^, et qu'ils sont coupés 

 parles deux transversales £,, t^ partant d'un point m de t^; donc, d'après 

 (85), les droites qui relient (, et t,, forment un nouveau système de po- 

 laires Ti', que nous représenterons par n' l, l,. De la même manière, on 



