52 NOUVELLE MÉTHODE D APPLICATJON 



leurs positions, lepicsentent un même plan de l'espace, qui doit neressai- 

 rement couper le plan bissecteur U, toujours suivant la mémo droite. 



§ II. 



Propriétés de deux systèmes de polaires se coupant sur une droite, déduites 

 de la considération de t'Iiyperboloïde à u)ic napjie. 



105. — Théorème. — Deux systèmes de polaires qui se rencontrent sur une 

 droite étant coupés respectivement par deux transversales menées par un point de 

 In lifpie des pôles, parallèlement à deux polaires correspondantes, les droites qui 

 relient ces deux transversales forment un système de parallèles, dont la direction 

 n'est pas celle de la ligne des pôles. (Fig. 10.) 



Démonstration. — Soient p, p' (fig, 10) les deux systèmes de polaires 

 qui se coupent sur la droite Z); soient t, t' les deux transversales menées 

 par le point n de la ligne des pôles, [parallèlement aux deux polaires cor- 

 respondantes pm , p'm; il s'agit de prouver que les droites aa' , bb' , ce', etc., 

 sont parallèles. 



Nous excluons le cas où les deux transversales partent du j)oint d'in- 

 tersection de la droite D avec la ligne des pôles ; car ce cas a été examiné 

 à l'article (83). 



En prenant une ligne de terre perpendiculaire à aa' , les deux systèmes 

 de polaires représentent un hyperboloïde à une nappe, ayant [)Our direc- 

 trices : 1° la perpendiculaire (p) au plan horizontal ; 2° la perpendicu- 

 laire (p') au plan vertical; 5° la droite de l'espace {D,D) située dans le 

 plan bissecteur B. Il suffit de prouver que la droite de l'espace {t, l') ren- 

 contre toutes les génératrices de cet hyperboloïde. Or, cette droite de 

 l'espace est parallèle à la génératrice {p tu, p' m); elle rencontre la géné- 

 ratrice (p«, p' a'); elle rencontre aussi au point [n, n) la génératrice 

 dont la projection double coïncide avec la ligne des pôles. De ce que la 

 droite de l'espace (f, t') rencontre trois génératrices, elle doit rencontrer 

 toutes les autres , et, partant, {b, b'), (e, c' ), etc. , sont autant de poinis de 



