DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 57 



De plus, si l'on projette, dans la direction des parallèles, le pôle de chaque sys- 

 tème sur la transversale de l'autre sijstème, la droite mentionnée passera par ces 

 deux projections. (Fig. 12.) 



Démonstration. — En prenant une ligne de terre perpendiculaire à la di- 

 rection des parallèles, les deux systèmes de polaires pt, p't' [fuj. 12), repré- 

 sentent un hyperboloïde à une nappe (62), ayant pour directrices : 1" la 

 verticale [p); 2° la perpendiculaire (p') au plan vertical de projection; 5° la 

 droite de l'espace [t, t'). Le sommet n des deux transversales l, t' étant 

 sur la ligne des pôles, la droite de l'espace, dont les deux projections 

 coïncident avec la ligne des pôles, sera une génératrice de cet hyper- 

 boloïde; et comme cette génératrice est située dans le plan bissecteur B, 

 il s'ensuit que ce dernier plan coupe toutes les autres génératrices en 

 des points situés sur une même droite. C'est en construisant les points de 

 rencontre de ces autres génératrices avec le plan bissecteur B , qu'on aura 

 la droite mentionnée à l'énoncé. 



Voici maintenant l'explication du dernier point de l'énoncé : Ayant 

 projeté , dans la direction des parallèles , le pôle p en tt' et le pôle p' 

 en 71, comme il est dit à l'énoncé, on sait (62) que la verticale (-) et la 

 perpendiculaire (ti') au plan vertical de projection sont deux génératrices 

 de l'hyperboloïde. Ces deux génératrices rencontrent respectivement le 

 plan bissecteur B en deux points , dont la projection double de l'un 

 coïncide avec ti, et la projection double de l'autre avec ti' (5). Ces deux 

 points ;:, 7î' appartiennent donc à la droite mentionnée à l'énoncé. 



112. — Une perspective des lignes énoncées au théorème précédent 

 conduit au théorème analogue ci-dessous, qui exprime, en d'autres ter- 

 mes, celui de M. Chasles, Géométrie supérieure, page 241, art. 533. 



Théorème. — Deux systèmes de polaires se coupent sur une droite lorsque 

 leurs transversales, partant d'un point de la ligne des pôles, sont reliées par un troi- 

 sième système de polaires dont le pôle n'est pas sur la ligne des pôles des deux 

 premiers systèmes. De plus, cette droite rencontre la transversale de chaque sys- 

 tème en im point de la ligne des pôles des deux autres systèmes; ccsl-à-dirc le 

 triangle formé par cette droite et les deux transversales , est inscrit au triangle qui 

 a pour sommets les trois pôles. (Fig. 13.) 



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