DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. S9 



DÉMOîiSTRATioN. — Daiis le cas où les deux transversales sont respective- 

 ment parallèles à deux polaires correspondantes , la courbe mentionnée 

 à l'énoncé sera, d'après le théorème (16), une parabole, si nous proU' 

 vous que les deux transversales sont divisées en parties respectivement 

 proportionnelles. Or, si par un point de la droile, sur laquelle se coupent 

 les deux systèmes de polaires, on mène deux nouvelles transvei'sales res- 

 pectivement parallèles aux deux premières transversales , ces nouvelles 

 transversales seront évidemment, d'après le théorème (85), divisées en 

 parties proportionnelles. Donc , les deux premières transversales sont 

 aussi divisées en parties proportionnelles (en vertu du principe que deux 

 transversales parallèles d'un même système de polaires sont divisées en 

 parties proportionnelles). — Donc, etc. Dans le cas où les deux trans- 

 versales ne sont pas respectivement parallèles à deux polaires corres- 

 pondantes, on peut toujours faire une perspective des deux systèmes 

 de polaires proposées et de leurs transversales , telle que les perspec- 

 tives des deux transversales soient respectivement parallèles aux per- 

 spectives de deux polaires correspondantes. Dès lors, les droites qui re- 

 lient les perspectives des deux transversales seront tangentes à une même 

 parabole; donc les droites qui relient les deux transversales sur la fi- 

 gure primitive seront tangentes à une même section conique, autre qu'une 

 parabole. 



Il reste encore à prouver que les droites qui relient les deux transver- 

 sales ne sauraient être parallèles, ni passer par un même point. Or, il 

 ressort de (94, 95, 105, 106), que deux des droites qui relient les deux 

 transversales, ne sauraient être parallèles, et que trois de ces droites ne 

 sauraient passer par un même point; car, dans les deux cas, le sommet 

 des deux transversales devrait se trouver soit sur la ligne des pôles, soit 

 sur la droile d'intersection des deux systèmes de polaires, ce qui est 

 contre l'hypothèse. Donc, etc. 



Du théorème qui précède, on déduit sans difficulté la proposition sui- 

 vante : 



Proposition. - — « Si les sommets d'un triangle sont assujettis à par- 

 » courir respectivement trois droites fixes, tandis que les deux premiers 



