DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 61 



La section sera une parabole, si le plan sécant est parallèle à une seule 

 génératrice d'un même mode de génération; car ici la section n'a qu'un 

 point à l'infini. 



117. — La section faite par un plan dans un paraboloïde hyperbo- 

 lique, est une hyperbole, si le plan sécant est parallèle à deux généra- 

 trices de modes différents. 



La section est une parabole , si le plan sécant n'est parallèle à aucune 

 génératrice des deux modes de génération; à cet égard, faisons remarquer 

 que si un plan sécant n'est pas parallèle à une génératrice d'un mode, il 

 n'est pas non plus parallèle à une génératrice de l'autre mode. 



118. — Problème. — Etant donnés deux systèmes de polaires qui se coupent «!(?• 

 une droite, si l'on fait tourner l'un des deux, considéré comme sijstème invariable, 

 autour de son pôle d'une quantité angulaire a, on demande si le système ainsi déplacé 

 et le système demeuré fixe ont ou n'ont pas de polaires correspondantes parallèles. 



SoLUTio>". — Soient /;, ;/ les deux systèmes de polaires qui se coupent 

 sur une droite D. Il est facile de voir, à l'aide d'une figure, que les deux po- 

 laires qui primitivement se coupent sur la droite D et font entre elles un 

 angle égal à w, ou supplémentaire de w, sont précisément celles qui devien- 

 nent parallèles après le déplacement, par rotation, de l'un des deux systèmes. 



Donc , en décrivant sur la droite p p' un segment de cercle capable de 

 l'angle 0), si la circonférence de ce cercle coupe la droite proposée /) en 

 deux points, il y aura deux paires de polaires correspondantes qui devien- 

 dront parallèles; ce qui a toujours lieu lorsque la droite D passe entre les 

 deux pôles p, p'. Si la circonférence est tangente à la droite D, une seule 

 paire de polaires correspondantes deviendront parallèles. Enfin, si la 

 circonférence ne coupe pas la droite D, aucune paire de polaiies corres- 

 pondantes ne deviendront parallèles. 



PiEMAUQUE. — Cette solution prouve, en même temps, que le système 

 qui s'est déplacé et le système qui est demeuré fixe ne peuvent avoir plus 

 de deux paires de polaires correspondantes parallèles. 



119. — Problème. — Étant donnés deux systèmes de polaires dont les trans- 

 versales sont reliées par un système de parallèles, on demande si ces deux systèmes 

 de polaires ont ou n'ont pas de polaires correspondantes parallèles. 



