DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 63 



Démonstration. — Soient pi, p'i' les deux systèmes de polaires définis 

 à l'énoncé. 



En prenant une ligne de terre perpendiculaire à la direction des paral- 

 lèles qui relient les deux transversales l, t', les deux systèmes de polaires 

 représentent un hyperboloïde à une nappe (62), et la courbe sur laquelle 

 se coupent les deux systèmes de polaires est la projection double de la 

 section faite dans cet hyperboloïde par le plan bissecteur B; donc cette 

 coui'be est du second degré. 



La courbe du second degré passe par les deux pôles, parce que le plan 

 bissecteur B rencontre les deux directrices de l'hyperboloïde qui ont res- 

 pectivement pour projections les deux pôles. 



La courbe du second degré passe par le sommet des deux transversales, 

 parce que celles-ci étant les projections d'une directrice de l'hyperboloïde, 

 le sommet de ces deux transversales est la projection double du point de 

 rencontre de cette directrice avec le plan bissecteur B. 



Tangente. — Si l'on suit le mouvement de deux polaires correspondan- 

 tes, on voit à l'évidence que lorsque l'une des deux polaires vient coïn- 

 cider avec la ligne des pôles, l'autre polaire devient tangente en son pôle 

 à la courbe en question. 



PoitJ' construire la tangente en vn point n qui ne coïncide avec aucun des deux 

 pôles, projetons, parallèlement à la direction des parallèles, le pôle p sur 

 la transversale l', le pôle // sur la transversale /, et représentons par?:, la 

 projection du pôle p, et par tt la projection du pôle p'. 



Par le point n passent deux polaires pn, p'n qui sont les projections 

 d'une génératrice de l'hyperboloïde. Par le même point n passent deux 

 autres polaires nn, r.'n qui sont les projections d'une génératrice de l'autre 

 mode de génération du même hyperboloïde. On consliuira les traces ho- 

 rizontales de ces deux génératrices {pu, p'n), (tik, tt'ji). La droite qui unit 

 ces deux traces sera la trace horizontale du plan tangent à l'hyperboloïde 

 au point [n, n). La droite, qui va du point n au point oîi cette trace du 

 plan tangent rencontre la ligne de terre, sera la tangente demandée (29). 



121. — En faisant la perspective des systèmes de lignes mentionnés 

 dans le théorème précédent, on en déduira le théorème analogue qui suit: 



