DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. J67 



le plan projelé suivant I) rencontre la directrice du paraboloïde projetée 

 en ce pôle. 



127. — En faisant une perspective telle que les deux systèmes de po- 

 laires dont il est question au théorème (120), deviennent deux systèmes 

 de parallèles , la courbe mentionnée au même théorème aura deux points 

 à l'infini, les deux pôles , et l'on aura ce nouveau théorème : 



Théokème. — Deux systèmes de parallèles dont les transversales sont reliées 

 jKir un système de polaires , se coupent sur une Injjyerbole qui passe par le som- 

 met des deux transversales. Cette hyperbole devient une droite quand les deux 

 transversales sont parallèles [l lu). 



Autrement : Étant donnés un système de parallèles et un système de polaires 

 qui se rencontrent sur imc droite, si un second système de jxtrallèles coupe le 

 système de polaires sur une transversale, il coupera le premier système de pa- 

 rallèles sur une hyperbole passant par le point d'insterseclion de la droite avec la 

 transversale. 



Démonstration directe pour le second énoncé. — Soit D la droite sur la- 

 quelle le système de polaires /) rencontre le premier système de parallèles ; 

 et soit t la transversale sur laquelle ce même système de polaires est ren- 

 contré par le second système de parallèles. En prenant une ligne de terre 

 perpendiculaire au second système de parallèles , le premier système de 

 parallèles et le système de polaires représenteront , d'après (69), une para- 

 boloïde hyperbolique ayant pour directrices : 1° la verticale (p) ; 2° la 

 droite (D, D) située dans le plan bissecteur B. L'hyperbole mentionnée à 

 l'énoncé est unCiprojection de la section faite dans ce paraboloïde par le 

 plan projeté suivant t. La section est, d'ailleurs, une hyperbole, parce que 

 ce plan est parallèle à la directrice projetée au pôle p. 



•128. — Théorème. — Un système de parallèles et un système de polaires, 

 dont tes transversales sont reliées par un second système de parallèles, se coupent 

 sur une parabole ou sur une hyperbole passant par le sommet des deux transver- 

 sales. Im courbe sera ime jmrabole , si le premier système de parallèles a même direc- 

 tion que la transversale des polaires ; elle sera une hyperbole dans tous les autres cas. 



En d'autres termes : 



Étant donnés deux systèmes de parallèles qui se rencontrent sur mie droite, si un 



