68 NOUVELLE METHODE D'APPLICATION 



système de polaires rencoMre le premier système sur une transversale, il rencon- 

 trera le second sur une jxirabole ou sur une hyperbole, selon que la transversale 

 sera ou non parallèle èi la direction des jMrullèles du second système. 



Démonstration pour le premier énoncé. — Soient p le pôle et t la trans- 

 versale du système de polaires, et soit (' la transversale du premier sys- 

 tème de parallèles. En prenant une ligne de terre perpendiculaire au 

 second système de parallèles , le système de polaires et le premier sys- 

 tème de parallèles représentent un paraboloïde hyperbolique (68), ayant 

 pour directrices : 1° la verticale (])) projetée au pôle p; 2" la droite de l'es- 

 pace (/, t'). La courbe mentionnée à l'énoncé est la projection double do 

 la section faite dans ce paraboloïde par le plan bissecteur H ; donc cette 

 courbe est du second degré. On vérifie facilement que dans le cas de 

 la parabole où le premier système de parallèles a même direction que la 

 transversale des polaires, aucune génératrice du paraboloïde n'est paral- 

 lèle au plan bissecteur J5, tandis que dans le cas contraire il y aura tou- 

 jours une génératrice du paraboloïde parallèle à ce plan bissecteur. — 

 Dans le cas où les deux transversales seraient parallèles, la directrice 

 {t, l') du paraboloïde serait parallèle au plan bissecteur B, et la courbe 

 serait une hyperbole. 



Tangente en un point quelconque n de la courbe. — Par le point de 

 l'espace [n, n) passe un plan tangent au paraboloïde; la trace principale 

 de ce plan tangent est la tangente demandée. 



Pour construire cette trace principale, on cherchera d'abord la trace 

 horizontale de ce plan tangent; pour cela, il faut remarquer que la géné- 

 ratrice qui passe par le point {n, n), est une première droite de ce plan, 

 et que, pour se procurer une seconde droite, il suffit de couper le para- 

 boloïde par un plan auxiliaire parallèle aux deux directrices {p) el{l,t'); 

 ce plan auxiliaire est vertical et se projette suivant une droite menée par n 

 parallèlement à /. Après avoir construit de cette façon la trace horizon- 

 tale du plan tangent, on aura la tangente demandée, en joignant par une 

 droite le point n avec le point où la trace horizontale du plan tangent ren- 

 contre la ligne de terre. 



129. — Théorème. — L'inler section de deux systèmes de polaires, respective- 



