DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 75 



Nous nommerons la nouvelle courbe, la transformée ou la déformée 

 de la courbe proposée. 



Tangente. — Soit m un point de la courbe primitive , et m' le point corres- 

 pondant sur la courbe transformée. — Pour construire la tangente à la courbe 

 transformée au point m', on mènera par le point m à la courbe primitive une 

 tangente prolongée jusqu'à ce quelle rencontre, en un point n , la perpendi- 

 culaire L élevée en o à la droite D. Sur cm', ou sur le prolojigement de cm', 

 du côté de o, on prendra à partir du point o une longueur on' = on. Au 

 point n' on mènera à on' une perpendiculaire prolongée jusqu'à ce qu'elle ren- 

 contre la droite L. En unissant ce point de rencontre avec le point m', par une 

 droite , celle-ci sera la tangente demandée — on' sera pris sur le pj-olongement de 

 om' si la tangente à la courbe pi-imitive ne peut rencontrer L sans rencontrer 

 préalablement D. 



Démonstration. — Représentons par c la courbe proposée et menons , 

 par le point o , une perpendiculaire L à la droite D. En prenant la perpen- 

 diculaire L pour ligne de terre, le système de circonférences et le système 

 d'ordonnées mentionnés à l'énoncé représentent une surface de révolu- 

 tion dont l'axe se projette horizontalement au point o et verticalement 

 en D. Cette surface de révolution a pour méridien principal la courbe 

 de l'espace (L, c), située dans le plan vertical de projection, et la courbe, 

 intersection du système de circonférences avec le système d'ordonnées, est 

 la projection double de la section faite dans cette surface de révolution 

 par le plan bissecteur B. Le degré de cette projection double est le même 

 que celui de la surface de révolution; donc ce degré est double de celui 

 de la courbe (L, c), qui a servi à engendrer la surface (81). 



Pour déduire de la tangente en un point m de la courbe donnée, la 

 tangente au point correspondant m' de la courbe transformée, nous dirons 

 que cette première tangente est la trace verticale du plan qui touche la 

 surface de révolution au point m considéré comme situé dans le plan ver- 

 tical de projection. Cette trace verticale servira à construire la trace hori- 

 zontale du plan qui touche la surface de révolution au point (m', m'); et 

 la trace principale de ce dernier plan tangent est la tangente au point m' 

 de la courbe transformée. 



