DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 79 



TROISIÈME CHAPITRE. 



LIEUX GÉOMÉTRIQUES RÉSULTANT DE l'iNTERSECTION DE DEUX SYSTÈMES DE POLAIRES 

 DÉFINIS PAR UNE CONSIDÉRATION MÉTRIQUE : LA PROPORTION. 



142. — Dans ce chapitre, qui traitera uniquement des courbes et des 

 surfaces du second degré, nous croyons qu'il sera intéressant de voir 

 qu'une théorie complète de deux droites divisées en parties proportion- 

 nelles ou en parties perspectivemeut proportionnelles, et de deux systèmes 

 de polaires ayant respectivement ces deux droites pour transversales, cons- 

 titue toute une géométrie supérieure de ces courbes et de ces surfaces, 

 en tant qu'il ne s'agisse que de propriétés descriptives. 



Il ne sera pas moins intéressant de voir cette théorie découler d'une 

 seule source, la considération de l'hyperboloïde à une nappe, lequel ren- 

 ferme comme cas particulier le paraboloide hyperbolique, le cône et le 

 plan. 



Aussi, après avoir reconnu que deux systèmes de polaires dont les 

 transversales sont divisées en parties respectivement proportionnelles, peu- 

 vent toujours représenter l'une de ces trois surfaces et ne sont autre chose 

 que deux faisceaux projectifs de M. Steiner, ou deux faisceaux homogra- 

 phiques de M. Chasles, nous avons acquis la conviction que la théorie 

 de ces faisceaux, basée jusqu'ici sur la notion du rapport anharmonique, 

 pouvait être traitée par les seuls principes de la géométrie descriptive , 

 lorsqu'on y introduit les propriétés des deux plans bissecteurs. 



11 y a plus, si l'on ne connaissait d'autres applications de la géométrie 

 descriptive, on pourrait croire que la méthode des projections, combinée 

 avec les propriétés des plans bissecteurs, a été imaginée exprès pour 



