DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 83 



les points de division correspondants de la seconde droite. Puisque l'on a 

 la proportion : 



ab : a'b' = bc : b'c' = etc. , 



il s'ensuit que les points de l'espace (a, a'), [b, b'), (c, c'), etc., sont tous 

 sur une même droite située dans un plan perpendiculaire à la ligne de 

 terre. Donc, etc. 



153. — Problème fondamental. — Construire la paire de points corres- 

 pondants qui coïncident , lorsque l'on applique deux droites proportionnelles 

 abc, etc., a'b'c', etc., sur une droite D. 



Solution. — En prenant une ligne de terre perpendiculaire à D , nous 

 pouvons, d'après (iS2), considérer la droite de l'espace {abc, etc., 

 a'b'c', etc.) Cela posé, le point où cette droite rencontre le plan bissec- 

 teur B (27), est un point dont les deux projections coïncident. Or, ces 

 deux projections coïncidantes sont évidemment deux points correspon- 

 dants des deux droites proportionnelles. 



Comme la droite de l'espace {abc, etc., a' b' c', etc.), ne peut rencontrer 

 le plan bissecteur B qu'en un point, il en résulte que : 



1° Deîix droites proportionnelles appliquées arbitrairement l'une sur l'au- 

 tre ., ne peuvent avoir., au plus, qu'une paire de points correspondants qui 

 coïncident; 



2° Si les deux droites proportionnelles sont égales (143) et que, déplus., 

 les points a, 6, c, etc., et leurs correspondants a\ b\ c, etc., se suivent dans le 

 même sens, ces droites n'ont pas de points correspondants qui coïncident; 

 autrement dit, les points correspondants qui coïncident sont à l'infini. 



C'est que dans ce cas, la droite de l'espace {abc etc., a' b' c' etc.) est 

 parallèle au plan bissecteur B (22). 



Nous verrons plus loin une autre solution du même problème, la- 

 quelle s'applique également à deux droites perspectivement proportionnel- 

 les placées l'une sur l'autre , et qui a l'avantage de n'exiger que l'emploi 

 de la règle et le tracé d'une circonférence d'un rayon arbitraire. 



