100 NOUVELLE METHODE D'APPLICATIOIN 



178. — Nous pouvons démontrer ici le théorème énoncé à l'art. (1G2.) 

 Théorème. — La perspective sur un plan quelconque, de deux droites per- 



speclivemcnl proportionnelles, donne deux nouvelles droites perspeclivemenl pro- 

 portionnelles. 



Démonstration. — En prenant les droites proposées pour transver- 

 sales respectives de deux systèmes de polaires, ceux-ci seront propor- 

 tionnels (173, corol. 7). La perspective de ces deux systèmes de polaires 

 et de leurs transversales, donne deux nouveaux systèmes de polaires pro- 

 portionnels dont les transversales ( perpectives des droites proposées ) , 

 sont toujours (176), perpectivement proportionnelles. Donc, etc. 



179. — Théorème. — Deux droites perspeclivemenl proportionnelles à une 

 troisième, sont perspectivemenl proportionnelles entre elles. 



Démonstration. — En prenant trois points arbitraires pour pôles de 

 trois systèmes de polaires ayant respectivement pour transversales les trois 

 droites données, les deux systèmes qui ont pour transversales les deux 

 premières droites seront proportionnels chacun au système qui a pour 

 transversale la troisième droite; donc les deux premiers systèmes sont 

 proportionnels entre eux, et, partant, leurs transversales, c'est-à-dire 

 les deux premières droites, sont perspectivement proportionnelles entre 

 elles (176.) 



180. — On démontrerait de la même manière qu'à l'article précédent 

 le théorème suivant : 



Théorème. — Deux droites sont perspectivemenl proportionnelles, lorsqu'elles 

 sont respectivement proportionnelles ou perspeclivemenl proportionnelles à deux 

 autres droites perspectivemenl proportionnelles. 



181. — Théorème. — Vti système de parallèles p' et un sxjstème de polaires p 

 ayant des transversales perspeclivemenl proportionnelles , sont proportionnels ; 

 c'est-à-dire que l'on peut toujours remplacer les transversales données par d'autres 

 transversales, proportionnelles entre elles. (Fig. 40.) 



Démonstration. — Par le point d'intersection o d'une parallèle avec la 

 polaire qui lui correspond, menons deux nouvelles transversales l, t', 

 respectivement parallèles aux anciennes qui ne sont pas tracées sur la fi- 

 gure; les droites qui relieront l et l' concourront en un même point u. 



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