DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 103 



Car les deux transversales de ces deux systèmes de parallèles sont 

 proportionnelles. Donc, etc. 



185. — Théorème. — Deux systèmes de polaires proportionnels représentent 

 un hyperboloïde à une nappe, pour toute ligne de terre non perpendiculaire à la 

 ligne des pôles. 



Démonstration. — Soient t et t' les transversales proportionnelles des 

 deux systèmes de polaires proposés p, p>; parle point d'intersection n de 

 deux polaires correspondantes quelconques, menons deux nouvelles trans- 

 versales T T', respectivement parallèles aux premières transversales t, t'. 



Puisque les nouvelles transversales sont proportionnelles et qu'elles 

 ont un point n correspondant commun , le système de droites reliant ces 

 nouvelles transversales est un système de parallèles (146). Donc, en 

 prenant une ligne de terre quelconque perpendiculaire à ces parallèles' les 

 deux systèmes de polaires p, p' représentent un hyperboloïde à une 

 nappe, dont les trois directrices sont : 1". la perpendiculaire {p) au plan 

 horizontal de projection ; 2° la perpendiculaire (p') au plan vertical: 3" la 

 droite de l'espace (t, t'). 



S'il arrivait que la ligne de terre fût aussi perpendiculaire à la 

 l.gne des pôles, alors les deux systèmes de polaires représenteraient un 

 plan (35). 



Puisque deux systèmes de polaires proportionnels représentent un 

 hyperboloïde à une nappe, on peut dire (120) que le lieu géométrique 

 intersection de deux systèmes de polaires proportionnels, passe par les 

 deux pôles, et qu'il est la projection double d'une section faite dans un 

 hyperboloïde à une nappe, par le plan bissecteur B; et comme l'hyperbo- 

 loide à une nappe ne peut être rencontré par une droite en plus de deux 

 points, il en doit être de même d'une de ses sections planes et d'une pro- 

 jection de ces sections. Donc on peut énoncer que : 



1° Le lieu géométrique, intersection de deux systèmes de polaires proportion- 

 nels, ne peut être rencontré par une droite en plus de deux points. 



D'un autre côté, comme l'hyperboloïde à une nappe ne saurait avoir 

 p us de deux génératrices d'un même mode de génération parallèles au 

 plan bissecteur jB, il en résulte aussi que : 



