104 INOUVELLE MÉTHODE D'APPLICATION 



2° Deux systèmes de polaires proportiotinels ne sauraient avoir plus de deux 

 paires de polaires correspondantes parallèles; 



5° Deux systèmes de polaires proportionnels, ayant même pôle, ne sauraient, 

 avoir plus de deux paires de polaires correspondantes qui coïncident. 



186. — Comme il sera démontré que deux systèmes de polaires pro- 

 portionnels se coupent toujours sur une section conique passant par les 

 deux pôles, on peut, eu égard à (74) énoncer que : 



TnÉouÈME. — Deux systèmes de polaires proportionnels, dont aucune paire de 

 polaires correspondantes ne coïncident avec la ligne des pôles, représentent un cône 

 du second degré pour toute ligne de terre perpendiculaire à la ligne des pôles. 



187. — Deux systèmes de polaires proportionnels ayant même pôle, 

 pouvant être considérés comme respectivement parallèles à deux au- 

 tres systèmes de polaires proportionnels dont les pôles ne coïncident 

 pas, et ces deux derniers systèmes représentant un cône pour toute 

 ligne de terre perpendiculaire à leur ligne des pôles, on en conclut fa- 

 cilement que : 



Théorème. — Deux systèmes de polaires proportionnels, qui ont même pôle, 

 représentent un cône du second degré dont le sommet est dans le plan bissecteur B, 

 si la droite prise pour ligne de terre n'est pas perpendiculaire à une paire de po- 

 laires correspondantes qui peuvent coïncider dans les deux systèmes. 



188. — Théorème. — Detix systèmes de polaires proportionnels p, p' , dont 

 une paire de polaires correspondantes sont parallèles, représentent un paraboloïde 

 lujperbolique, pour toute ligne de terre perpendiculaire à ces deux polaires. 



Démonstration. — En effet, en coupant les deux systèmes par une trans- 

 versale parallèle aux deux polaires correspondantes dont il s'agit, cette 

 iransveisale rencontrera en a, b, c, etc., les polaires du système p, et en 

 «', b', c', etc., les polaires correspondantes du système p'; et l'on a (175) : 



ab : a'h' = bc : b'c' = cd : c'd' ^ etc. 



Cela posé, les trois directrices du paraboloïde sont : 1° la perpendicu- 

 laire (/)) au plan horizontal; 2° la perpendiculaire (//) au plan vertical; 

 5° la droite (o b c, etc., a' b' c', etc.) située dans un plan perpendiculaire 

 à la ligne de terre. La surface est un paraboloïde, parce que ses trois 



