DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. H9 



216. — Théorème. — Deux systèmes de polaires proportionnels, dont aucune 

 paire de polaires correspondantes ne coïncide avec la ligne des pôles, se coupent 

 toujours sur une section conique passant par les deux pôles, ou, en d'autres mots, 

 l'intersection de deux systèmes de polaires proportionnels est une perspective du 

 cercle. 



La section conique sera une parabole si les deux systèmes ont une paire de 

 polaires correspondantes parallèles; une hyperbole, si les deux systèmes ont deux 

 paires de polaires correspondantes parallèles; et une ellipse dans tous les autres cas. 



Pour démontrer cette réciproque du théorème (182) nous avons besoin 

 de quelques notions préliminaires : 



1° Si par une droite 3, perpendiculaire à la ligne de terre et située dans 

 le plan bissecteur B', on mène arbitrairement un plan, les deux traces de 

 ce plan seront également inclinées sur la ligne de terre, et, après le 

 rabattement du plan vertical de projection, elles se trouveront être l'une 

 le prolongement de l'autre (25). D'où l'on conclut que : 



2° Si au point de rencontre de la droite 3 avec la ligne de terre, on 

 trace dans le plan horizontal un système de polaires, la perspective de 

 ces polaires sur le plan vertical de projection , pris pour tableau , l'œil 

 étant placé sur la droite â, sera un autre système de polaires, qui coïnci- 

 deront respectivement avec les polaires du système proposé, quand ou 

 aura rabattu le plan vertical de projection sur le plan horizontal ; 



5° Étant donnés deux systèmes de polaires dont les polaires du pre- 

 mier système sont respectivement parallèles aux polaires du second , si 

 l'on fait tourner l'un de ces systèmes autour de son pôle d'une quantité 

 angulaire quelconque, il coupera l'autre, demeuré fixe, sur une circon- 

 férence de cercle passant par les deux pôles. 



Cela posé, soient p, p' deux systèmes de polaires proportionnels {fig. 23), 

 nous allons prouver qu'il existe toujours un tableau et une position de 

 l'œil pour lesquels les perspectives de ces systèmes se coupent sur une 

 circonférence de cercle, passant par les perspectives des deux pôles p, p'. 



Pour cela, faisons d'abord tourner le système p autour de son pôle, 

 jusqu'à ce qu'il coupe le système p' sur une droite (192) que nous dési- 

 gnerons par D. Représentons le système p, dans cette nouvelle position, 



