130 NOUVELLE METHODE D'APPLICATION 



En menant par les points de division de D' et de D" des perpendicu- 

 laires à la ligne de terre, ces deux systèmes de perpendiculaires coupe- 

 ront xespeclivement le système de parallèles suivant deux droites d', d" 

 (184, corol.). Cela posé, les directrices du paraboloïde dont il s'agit sont 

 les droites de l'espace (D', d'), (/)", d"); et la courbe mentionnée à l'énoncé 

 n'est autre que la projection double de l'intersection de ce paraboloïde 

 avec le plan bissecteur B. Donc , etc. 



237. — Théorème. — • Étant données deux transversales proportionnelles t, t' 

 dont l'une, t, appartient à un système de polaires, et l'autre, t', à un système de 

 droites i-espectivemenl parallèles à ces polaires, toutes ces droites, ainsi que leur 

 transversale t' , sont tangentes à une même parabole. 



Démonstration. — Le théorème est évident si les droites qui relient les 

 deux transversales t, t' sont parallèles, c'est-à-dire si les deux transver- 

 sales ont un point correspondant commun; car, dans ce cas, les droites, 

 respectivement parallèles aux polaires sont les projections horizontales 

 des génératrices rectilignes d'un paraboloïde hyperbolique (70); et, d'a- 

 près (3S), ces droites, ainsi que leur transversale t' , sont tangentes <î une 

 même conique, laquelle, ne pouvant avoir deux tangentes parallèles, est 

 nécessairement une parabole. 



Dans le cas où les deux transversales proportionnelles n'ont pas de 

 point correspondant commun, il est facile de voir que la construction de 

 la courbe mentionnée à l'énoncé reste la même si l'on transporte paral- 

 lèlement à lui-même le système de polaires avec sa transversale (, de 

 manière qu'un point de celle-ci aille coïncider avec le point correspon- 

 dant de t' . Et comme la propriété énoncée existe pour cette position du 

 système de polaires, elle existe également pour la position primitive du 

 même système. Donc, etc. 



Eu égard à (17o, corol. II), le théorème précédent donne : 



Corollaire. — Étant donnés deux systèmes de polaires proportionnels, si l'on 

 coupe l'un des deux par une transversale quelconque, et si, par le point de ren- 

 contre de chaque polaire avec cette transversale, on mène une droite parallèle à la 

 polaire correspondante de l'autre système, toutes ces droites, ainsi que la ti-ans- 

 versale, seront tamjentes à une même parabole. 



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