DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 131 



Proposition. — Si te sommet d'un angle, de grandeur invaiiable, se meut 

 sur une droite fixe D, tandis que le premier côté de l'angle tourne autour d'im 

 point fixe, le second côté sera, dans toutes ses positions, tangent à une même 

 parabole. 



Démonstration. — Si, dans chaque position du premier côlé de l'angle, 

 on mène par le point fixe une parallèle au second côté, toutes ces parallèles 

 formeront (170, 2°) un système de polaires proportionnel au système 

 formé par le premier côté; et si maintenant on considère la droite D 

 comme transversale du système de polaires décrit par le premier côté, on 

 aura toutes les circonstances du corollaire qui précède. 



258. — Théorème. — Dans toute section conique, un système de diamètres, 

 respectivement coiijugués aux directions d'un système de polaires p, constitue un 

 système de polaires pi-oportionnel au système p. 



Démonstration. — Il suffit de remarquer qu'un système de diamètres 

 et leurs conjugués sont deux systèmes de polaires proportionnels entre 

 eux et à tout système de polaires parallèle à l'un d'eux. 



Proposition I. — Si un nombre quelconque de cordes d'ime section conique 

 donnée passent par im point fixe p, les milieux de toutes ces cordes se trouvent 

 sur une autre section conique passant par ce point fixe et par le centre p' de la 

 section conique donnée. 



En effet, ces cordes forment un système de polaires p et les diamètres de 

 la section conique respectivement conjugués à ces cordes (c'est-à-dire les 

 diamètres qui passent respectivement par les milieux de ces cordes) for- 

 ment un système de polaires p' proportionnel au système p; or, l'intersec- 

 tion de ces deux systèmes , qui est une conique passant par les deux pôles 

 p, p', est précisément le lieu géométrique des points milieux de toutes les 

 cordes. Donc, etc. 



Puisque l'ensemble de deux droites est une section conique, on a : 



Proposition II. — Si l'on coupe tm système de polaires par deux transver- 

 sales quelconques, les milieux de toutes les portions de polaires comprises entre ces 

 transversales sont situés sur une hyperbole passant par le pôle du système de polaires 

 et par le sommet des deux transversales. 



Démonstration directe. — Tout se réduit à démontrer que, en joignant 



