132 NOUVELLE METHODE D APPLICATION 



le sommet des deux transversales avec le milieu de chaque portion de 

 polaire comprise entre ces transversales , on a un second système de 

 polaires proportionnel au système proposé. Or, en menant, par un point 

 pris sur l'une des deux transversales, des droites respectivement paral- 

 lèles aux polaires du système proposé , on aura un troisième système 

 de polaires proportionnel au proposé (170, 5°) et au second, car il cou- 

 pera le second, comme il est facile de le démontrer, sur une droite pa- 

 rallèle à l'autre transversale. Il en résulte (175, corol. IV) que le premier 

 et le second système sont proportionnels, et comme ils ont deux paires 

 de polaires correspondantes respectivement parallèles aux deux transver- 

 sales, ils se coupent sur une hyperbole, qui est celle de l'énoncé. 



239. — Étant donnés, sur un plan, deux sections coniques et un sys- 

 tème de polaires n, si, par le centre de chacune de ces coniques, on 

 mène les diamètres respectivement conjugués aux directions des polaires n; 

 ces deux systèmes de diamètres formeront, d'après (238 et 175, corol. IV), 

 deux systèmes de polaires qui seront proportionnels et qui se couperont 

 sur une troisième section conique passant par leurs pôles , centres des 

 deux premières coniques. D'où l'on déduit les propositions connues 

 qui suivent : 



Proposition I. — Dans deux sections coniques tracées sur un même plan, le 

 lieu géométrique des points de concours des diamètres conjugués à ime même 

 direction variable, est ime troisième section conique passant par les centres des 

 deux sections coniques proposées. 



Si les deux coniques proposées se coupent en quatre points, elles ont 

 dès lors six cordes communes; la troisième conique, devant passer par 

 les milieux de ces six cordes, est entièrement déterminée, puisque les 

 milieux des six cordes se réduisent au minimum à cinq, dans le cas où 

 les quatre points communs aux deux sections coniques se trouvent être 

 les sommets d'un parallélogramme; et comme les centres des deux coni- 

 ques proposées doivent se trouver sur la troisième conique, il en résulte 

 cette autre proposition connue : 



Proposition II. — Le lieu géométiique des centres de toutes les sections coni- 

 ques que l'on peut mener par quatre points , est également une section conique. 



