134 rSOUVELLE METHODE D'APPLICATIOIN 



sera le pied de la normale (voir Propriétés projcdives de M. Poncelel, p. 288), 

 ce qui revient à dire que le pied de la normale est l'intersection de la 

 conique avec le lieu géométrique décrit par le point x. 



Pour déterminer ce lieu, remarquons que la perpendiculaire à la 

 tangente est aussi perpendiculaire au diamètre conjugué de celui qui 

 passe par le point de contact. Donc , la construction d'un point du lieu 

 demandé est ramenée à ceci : par le point flxe donné, ayant mené une 

 perpendiculaire sur un diamètre quelconque, le conjugué de ce diamètre 

 rencontrera la perpendiculaire en un point x du lieu cherché. 



On voit sur-le-champ que si l'on répète cette construction pour déter- 

 miner d'autres points x , on aura trois systèmes de polaires , formés 

 comme il suit : le premier, par un système de diamètres; le second, par 

 les perpendiculaires abaissées sur les diamètres précédents ; enfin , le 

 troisième, par les diamètres respectivement conjugués aux diamètres du 

 premier système. Le lieu demandé est précisément l'intersection des deux 

 derniers systèmes; or, les trois systèmes sont proportionnels (170, 4" et 

 182, corol. Il); donc, le lieu, intersection des deux derniers systèmes, est 

 une section conique qui passe par leurs pôles , c'est-à-dire par le point 

 donné et par le centre de la section conique donnée. D'un autre côté, on 

 s'assurera facilement que les deux derniers systèmes ont leurs polaires 

 rectangulaires correspondantes respectivement parallèles; donc, le lieu 

 demandé est une hyperbole équilatère, dont les points d'intersection avec 

 la conique proposée sont les pieds de la normale demandée. 



242. — Application. — Construire une droite qui renconti'e quatre droites 

 données dont deux quelconques ne sont pas dans un même plan; 



Constndre le point de rencontre d'une droite avec un hypcrboloïde à une nappe. 



Ces deux problèmes peuvent facilement être ramenés au suivant: 



Construire les génératrices communes à deux liyperboloïdes aune nappe h, h', 

 qui ont deux directrices communes. ( V. Géom. de M. Steiner, p. 245, 4°). 



Solution. — En prenant les deux plans de projection respectivement 

 perpendiculaires aux deux directrices communes, une de ces directrices 

 se projettera en un point p sur le plan horizontal, et l'autre en un point 

 p' sur le plan vertical. Soient T, T', les deux projections de la troisième 



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